9.3 - Momento de fuerza y momento angular 5ro6y

Hola y bienvenido al Proyecto Gustavo. Este es el Podcast Física 1.

Tema 9. Conservación del momento angular.

Apartado 3. Momento de fuerza y momento angular.

Pasar de la causa al efecto era fácil en el caso de la traslación. La fuerza nos daba el momento lineal y el momento lineal nos daba la velocidad.

Ahora vamos a hacer una relación similar. El momento de fuerza nos da el momento angular y a partir de ahí obtenemos la velocidad angular.

Para el primer paso vamos a hacer un desarrollo que es similar al que ya hicimos para el momento lineal. Fijémonos en una partícula que se encuentra a una distancia r vector del origen de momentos y cuyo momento lineal es p igual a m por v. Su momento angular L es igual a r producto vectorial por p. Ahora vamos a derivar todo con relación al tiempo.

En el lado izquierdo de la igualdad tenemos la derivada de L con relación al tiempo.

En el lado derecho de la igualdad hay que derivar el producto r por p.

Aplicamos la regla de derivación del producto y obtenemos dos términos, derivada temporal de r multiplicada por p y r multiplicado por derivada temporal de p, producto vectorial en ambos casos. El primero de esos términos es v producto vectorial por p. Como v y p son paralelos, porque p igual a m por v, ese producto da cero. ¿Recuerdas esa relación del producto vectorial? Cuando dos vectores son paralelos su producto vectorial es cero. Te dije que era una relación muy útil y aquí la estamos aplicando. Al final nos queda que la derivada de L respecto al tiempo, es igual a r por la derivada de p con relación al tiempo.

Pero la segunda ley de Newton nos dice que esa derivada temporal de p es igual a f, la fuerza aplicada. Así que lo que hemos sostenido es esto, L igual a r producto vectorial por f. Y eso de r por f producto vectorial es el momento de fuerza. Repito para que quede claro, el momento de fuerza es igual a la derivada del momento angular con relación al tiempo.

Salvando las distancias suena como en la traslación, cuando salió que la fuerza era la derivada temporal del momento lineal. Pues ahora igual, solo que en lugar de fuerza tenemos momento de fuerza y en lugar de momento lineal ahora hay momento angular. El momento de fuerza tau es igual a la variación temporal del momento angular L.

A continuación vamos al segundo paso, relacionar el momento de fuerza tau con la aceleración angular para obtener una relación similar al f igual a m por a que usábamos en los casos de traslación.

Seguimos suponiendo que el eje de rotación es un eje principal de inercia, como los casos que ya vimos en el tema anterior. Si suponemos que el momento de inercia del cuerpo respecto a ese eje es constante, cosa que sucede si el cuerpo es rígido, entonces L es igual a I por omega, como vimos en el apartado anterior.

Derivamos respecto al tiempo y ¿qué sale? A la izquierda, derivada de L con relación al tiempo, que es el vector momento de fuerza tau, como acabamos de ver. A la derecha, I por la derivada de omega con relación al tiempo. El resultado es vector tau igual a I por vector alfa. Momento de fuerza igual a momento de inercia por la aceleración angular.

Nuevamente tenemos que la causa del movimiento es igual a un parámetro de inercia multiplicado por un término de aceleración, análogo al F igual a M por A que teníamos en la traslación. Pues ahora el lugar de F igual a M por A es tau igual a I por alfa. Esto es, como de costumbre, el caso fácil. Cuando el eje de giro no tiene siempre la misma dirección, entonces I no es un escalar, y los vectores tau y alfa no son paralelos. Ahí tendríamos que considerar que el momento de inercia I no es un escalar, sino un tensor.

Pero ese caso, sencillamente, no lo vamos a ver. No lo saltamos. Créeme, es lo mejor para ambos. Sigamos en el camino de la sencillez. Todo esto, recuerda, era para una partícula individual. Ahora vamos a considerar un cuerpo extenso, formado por N partículas, cada una con su distancial eje, su propia masa M sub i, lo de siempre. En este caso nos fijamos en una partícula cualquiera. Tomamos los momentos de fuerza que actúan sobre la partícula.