8.3 – Cálculo de momentos de inercia 46171

Hola y bienvenido al Proyecto Gustavo. Este es el Podcast Física 1.

Tema 8. Movimiento de rotación.

Apartado 3. Cálculo de momentos de inercia.

Una de las complicaciones en el estudio de rotación viene de esa I, el momento de inercia del cuerpo. Para calcularla hay que hacer una somatoria o bien una integral si lo que tenemos es un cuerpo extenso. Al contrario que con la masa, que es una cantidad que no varía en un sistema sujeto a las leyes clásicas del movimiento, ahora tenemos un parámetro que depende del eje de giro. Si el cuerpo gira respecto a otro eje, hay que considerar y calcular otro momento de inercia. Y puesto que en principio hay una infinidad de posibles ejes, también el número de momentos de inercia en un cuerpo es infinito.

Calcular una integral de volumen no suele ser fácil, así que siempre que se puede se busca una forma de simplificar. Si podemos considerar que el cuerpo tiene algún tipo de simetría, calcular esas integrales resulta menos difícil. Como ejemplo, vamos a calcular un momento de inercia. No es que me guste hacerlo, porque considero que eso es matemática, no física, pero veámoslo y así lo entenderás mejor. Me espero.

Nuestro ejemplo va a ser calcular el momento de inercia de una varilla delgada y homogénea respecto a un eje perpendicular que pase por su extremo. Pondremos la varilla a lo largo del eje X y en uno de sus extremos irá al centro del origen de coordenadas, así que la varilla se extiende desde X igual a cero hasta X igual a L.

Lo que vamos a hacer es cortar la varilla en pequeñas rebanadas infinitamente delgadas, de grosor diferencial de X. Al ser un elemento infinitesimal, tendrá una masa diferencial de M. Como la varilla la suponemos muy delgada, podemos considerar que toda la rebanada se encuentra a la misma distancia X del extremo. Es como si el lugar de una varilla fuese un hilo unidimensional. El momento de inercia quedará como integral entre cero y L de X cuadrado diferencial de M. A continuación vamos a pasar de una integral en diferencial de M a una en diferencial de X.

Los matemáticos hablan de cambio de variables y esas cosas. Nosotros vamos a plantearlo en plan físico. Para ello vamos a definir una densidad lineal de masa, lambda, que será la masa por unidad de longitud de una rebanada de esas, dando igual a derivada de M con relación a X. En general esa densidad lineal de masa puede variar de una zona de la varilla a otra, pero en nuestro ejemplo tenemos una varilla homogénea, lo que significa que la densidad lineal de masa es constante en toda la varilla.

Con esas consideraciones podemos calcular la integral. El integrando era X cuadrado por diferencial de M, que se convierte en X cuadrado por lambda por diferencial de X.

Sacamos la lambda de la integral porque es una constante, nos queda la integral de X cuadrado diferencial de X. Nos vamos a la tabla de integrales, donde vemos que la integral de algo cuadrado por diferencial de algo es ese algo al cubo partido por 3, evaluado entre x igual a 0 y x igual a L, y en definitiva la integral nos sale pum pum pum pum pum, lambda por L al cubo partido por 3, sustituimos lambda por M partido por L, la masa total dividida por la longitud de la varilla y el resultado final es I igual a un tercio de M por L al cuadrado. Tiene dimensiones de masa por longitud al cuadrado, así que la cosa va bien, y listo, ya tenemos nuestro valor de I.

En otros casos será más o menos difícil hacer la integral, puede que el cuerpo no sea homogéneo, que la geometría se nos complique, pero siempre tiene la misma forma, un número multiplicado por una masa y multiplicado por un producto de longitudes, a veces es el producto de longitud y anchura, o es un radio al cuadrado, o alguna otra cosa, pero siempre igual, número por masa por longitud al cuadrado.

Hallar momentos de inercia es algo que no me gusta hacer, nunca he entendido la necesidad de poner problemas del tipo, hallar el momento de inercia de tal cuerpo respecto a tal eje en un examen de física, pero a pesar de eso, o quizás justo por eso, es buena idea aprenderse de memoria los momentos de inercia de los cuerpos más habituales, como un cilindro, una esfera, una varilla, un prisma, aquí te dejo algunos para que vayas abriendo boca. Por ejemplo, el momento de inercia de un cilindro respecto a su eje de simetría longitudinal es 1 medio de m por r al cuadrado. Fíjate que aquí no importa la longitud del cilindro, así que sirve tanto para una varilla cilíndrica muy larga como para un disco fino o cualquier posibilidad intermedia.

Subtítulos realizados por la comunidad de Amara.org