7.A - El problema de los N cuerpos 6u6q59

Hola y bienvenido al Proyecto Gustavo. Este es el Podcast Física 1.

Tema 7. Sistemas de partículas. El problema de los N cuerpos.

Hace algún tiempo se estrenó en Netflix una serie de ciencia ficción titulada El problema de los tres cuerpos, basada en la novela del escritor chino Liu Zixin. En realidad es una trilogía de novelas, pero como no he visto la serie, desconozco si usaron el material de los tres libros. En cualquier caso, la serie hizo famoso el llamado problema de los tres cuerpos, que a su vez es un caso particular del problema de los N cuerpos. Vamos aquí a hablar un poco de ese problema, en qué consiste, qué características tiene, cómo se resuelve, y por supuesto sin hacer spoiler a la serie. El problema de los N cuerpos se refiere a objetos que están en el espacio y que se atraen mediante fuerzas gravitatorias.

Sabemos sus posiciones, velocidades iniciales y también sus masas. Se trata de predecir las fuerzas de interacción y, a partir de las fuerzas, obtener la posición de cada objeto con relación al tiempo. Eso es algo que hemos hecho para una partícula. Vemos que fuerzas actúan sobre ella, la segunda ley de Newton nos da la aceleración, y si las fuerzas se dejan, integramos y obtenemos velocidades y posiciones.

Eso resultaba sencillo cuando las fuerzas al sumarlas nos daban un valor constante, porque la aceleración también será constante y a partir de ahí es fácil seguir. V igual a V sub cero más A por T y todo eso que hemos visto para el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. También dije que cuando la fuerza no es constante, tendemos a tener problemas.

La aceleración no es constante y tampoco la velocidad, así que la meta de obtener una ecuación que nos dé la posición en función del tiempo se complica. En el caso de fuerzas gravitatorias podemos echar mano de la ley de Newton de gravitación universal, F igual a g por m1 por m2 partido por r cuadrado, donde r es la distancia entre dos cuerpos en interacción.

El problema es que si los cuerpos se mueven, esa r cambia, lo que significa que la fuerza F cambia, la aceleración no es constante y ya tenemos el lío montado. Y eso con dos objetos, si tenemos n cuerpos no te digo la que se puede montar. Vamos a ir paso a paso. Supongamos que los objetos son partículas puntuales y comencemos con el problema de los n cuerpos para n igual a 1.

En este caso no puede ser más sencillo, no hay interacciones. Algo muy aburrido, así que vamos a saltar al caso n igual a 2. Digamos por poner un ejemplo que tenemos el caso de la Tierra y un satélite artificial. Si la Tierra tiene una masa mucho más grande que el satélite, la solución es sencilla, y la órbita del satélite será una circunferencia o una elipse con la Tierra en el centro de la circunferencia o en un foco de la elipse. Esto es algo que descubrió Johannes Kepler a comienzos del siglo XVII. También existe la posibilidad de que el satélite haga un trayecto con forma de parábola o de hipérbola, cosa que demostró Isaac Newton con su ley de gravitación universal.

Todo depende de sus condiciones iniciales. Esa parte la tenemos perfectamente controlada, pero solo vale si un cuerpo es mucho más masivo que el otro. ¿Qué sucede cuando no lo es? Por ejemplo, supongamos la Tierra y la Luna. La Luna tiene una masa inferior, pero no infinitamente inferior. Aquí hay que currárselo un poco. No voy a demostrarlo ni a meter ecuaciones, que no es el momento, pero sí os diré cuál es el movimiento de los dos cuerpos. Ambos orbitan en torno al punto llamado baricentro o centro de masas. También en este caso, podemos sostener la posición de cada uno de los dos cuerpos como función del tiempo.

Visto desde lejos, el movimiento resulta así. El centro de masa se moverá siguiendo una trayectoria alrededor del Sol, y a su vez los dos cuerpos giran en torno al centro de masas.

El resultado es que esos cuerpos van siguiendo trayectorias onduladas. Por cierto, ese procedimiento es uno de los que se usan para detectar planetas en otras estrellas. Puede que no veas el planeta, pero su masa hace que el movimiento de su Sol por el espacio no vaya en línea recta, sino que sea una curva ondulada. Esas ondulaciones indican que está girando en torno al centro de masas que forma con un planeta. Y ala, ya has detectado un planeta invisible viendo la influencia que tiene en la trayectoria de su estrella. Llegamos a n igual a 3, y aquí es donde tenemos el problema gordo.

Aquí no hay una solución general. Quiero decir con eso que no tenemos ecuaciones del tipo posición del cuerpo igual a esta función del tiempo. Peor aún, el movimiento es de tipo caótico.

¿Qué quiere eso decir? Pues que la evolución temporal del sistema dependerá de la situación inicial. Pon los tres cuerpos en marcha, y al cabo del tiempo irán moviéndose en torno al Sol.