3.1 - El vector desplazamiento c1l47

Hola y bienvenido al Proyecto Gustavo. Este es el Podcast Física 1.

Tema 3. Cinemática en tres dimensiones. Apartado 1. El vector desplazamiento.

En el tema anterior estuvimos entretenidos examinando el comportamiento de una partícula que se movía a lo largo de una sola dimensión, una línea recta. Allí las cantidades que describían la posición, la velocidad, la aceleración, eran sencillamente números con signo, o como suelen llamarse en ciencia, cantidades escalares. Pero el mundo en el que vivimos no es una recta, de modo que tenemos que replantearnos muchas cosas.

Bienvenido al mundo de las tres dimensiones espaciales. Vamos a aprovechar los resultados del tema anterior, pero antes tenemos que ampliar y cambiar algunos conceptos. El primero es el concepto de posición. Ya no basta con dar un escalar, un número tipo x igual a más 3 metros. Es hora de desempolvar los recuerdos que tengas sobre vectores, porque a partir de ahora los vamos a usar hasta en la sopa. El problema es que este no es un curso de matemáticas, y no debería meterme a explicar qué es un vector o qué propiedades tiene.

Y mucho menos en un podcast, donde no puedo dibujar flechas, ejes de coordenadas ni nada parecido. Pero no hay más remedio que intentarlo, así que vamos allá.

Voy a comenzar con una advertencia. Existen por ahí unos individuos llamados matemáticos que le ponen la etiqueta de vectores a cosas que no se asemejan para nada a lo que entendemos habitualmente por vectores, eso de las flechitas y tal. Los matemáticos llaman vector a todo bicho que cumple ciertas propiedades, y agrupan los vectores en lo que ellos llaman espacios vectoriales, donde definen ciertas operaciones de suma y producto. Para un matemático las funciones trigonométricas son vectores, y pueden formar un espacio vectorial.

Pero no pasa nada, relájate. Para los matemáticos los vectores son objetos que cumplen ciertas propiedades y que tienen ciertas operaciones definidas, ¿de acuerdo? Calla ellos.

Solo te lo digo para que estés avisado, no vayas a buscar espacio vectorial en Google y que luego te lleves una sorpresa. Para nosotros, el vector es eso que siempre hemos dibujado como la típica flechita que tiene dirección, sentido y módulo. Esas flechas las podemos sumar y multiplicar. Tienen elemento neutro, propiedad asociativa, distributiva, conmutativa, como corresponde a cualquier espacio vectorial.

Algunas de esas propiedades son fáciles de comprobar en un papel. Por ejemplo, seguro que te enseñaron a sumar dos vectores dibujando el origen de un vector sobre el extremo del otro. No importa qué vector pongas primero, porque tienen propiedad conmutativa. Otras operaciones, como el producto de vectores, son menos intuitivas, al menos si lo intentamos usando lápiz y papel.

Normalmente operamos con vectores usando métodos analíticos, y con eso quiero decir usando números reales. Esto se puede hacer porque un vector puede representarse por medio de un conjunto de números. En la recta que vimos en el tema anterior bastaba un solo número, x igual a 3, x igual a menos 19, x igual a cero, pero en el plano hacen falta dos números. En el espacio habitual necesitamos tres, y así sucesivamente.

Si la gente de la teoría de cuerda se inventan que vivimos en un espacio de 11 dimensiones, pues no hay más que usar un vector de 11 componentes. Otra cosa es que podamos visualizar un espacio de 11 dimensiones, pero podemos definirlo y operar con él sin problemas. Un vector necesita una anotación especial, nada de ponerlo como A y listo, porque si lo hacemos corremos el riesgo de confundirlo con los escalares, los números a secas.

Normalmente hay dos formas de indicar un vector, o lo ponemos en negrilla o lo escribimos con una pequeña barra encima del símbolo, o con una pequeña flechita, eso también vale.

También vamos a extender el concepto de sistema de coordenadas, que es lo primero para lo que nos van a servir los vectores. Antes teníamos una recta solamente, escogíamos un punto de la recta, le ponemos la etiqueta x igual a 0 y ese era el origen de coordenadas. Ahora haremos algo parecido y podemos hacerlo de múltiples formas.

Hay una gran arbitrariedad a la hora de escoger el sistema de coordenadas, y con arbitrariedad lo que quiero decir es que podemos inventarnos el sistema de coordenadas como nos dé la santa gana. Puesto que podemos hacerlo como queramos, lo lógico es escoger el sistema más cómodo para resolver nuestro problema.

Lo habitual y lo que vamos a hacer casi siempre en los próximos temas es usar el sistema de coordenadas cartesiano, el de toda la vida, ese de los tres ejes mutuamente perpendiculares.

Si lo dibujamos en un papel, el eje x suele ser el horizontal, el y, y cuando digo y quiero decir y es el eje vertical, y el z no podemos dibujarlo porque sería perpendicular al papel, te entraría por el ojo mientras dibujas los otros dos. Podemos escoger el sistema de coordenadas como queramos, el eje x positivo hacia la derecha o hacia la izquierda, los otros ejes lo mismo, podemos poner el origen de coordenadas donde queramos, incluso girar todo el sistema de coordenadas respecto a la dirección que queramos. Todo eso lo elegimos a nuestra comodidad.

Sigamos. En cada uno de los ejes de coordenadas, esos que vamos a llamar x, y, z, se define un vector que tiene la dirección de ese eje, el sentido positivo y un módulo igual a uno.