2.3 - Movimiento con aceleración constante 253l22

Hola y bienvenido al Proyecto Gustavo. Este es el Podcast Física 1.

Tema 2. Cinemática en una dimensión. Apartado 3. Movimiento con aceleración constante.

A partir de ahora, y salvo que yo diga lo contrario, vamos a suponer que definimos un tiempo t igual a cero, el instante inicial. En ese instante la posición que tenga el cuerpo será la llamada posición inicial, que escribiremos como x igual a cero. De modo similar la velocidad en el instante inicial será v sub cero.

Veamos primero el caso de aceleración cero. Como vale cero, la velocidad es constante, ya que la aceleración nos da la tasa de cambio de la velocidad. Pues si a igual a cero, resulta que no hay cambio en la velocidad, así que esta permanecerá constante. Repito para que quede claro, si la aceleración es cero, la velocidad es constante en el tiempo.

Ahora veamos cómo cambia la posición. Como la velocidad es la derivada de la posición, la posición es la integral de la velocidad. La velocidad es constante, así que en este caso integrar será fácil. El resultado es una relación sencilla para la posición, x igual a x sub 0 más v por t. Es decir, la posición aumenta o disminuye de forma lineal con el tiempo. Si haces una gráfica con el tiempo en el eje de ascisas y la posición en el eje de ordenadas te saldrá una recta.

A este movimiento se le llama movimiento rectilíneo uniforme. El movimiento porque se mueve, salvo v igual a 0 que eso es reposo, es rectilíneo porque estamos en una línea recta, recuerda, seguimos en una sola dimensión, y es uniforme porque la variación de la posición con el tiempo es uniforme. Un delta t provocará siempre la misma delta x. Pasa un segundo, te mueves 4 metros. Pasa otro segundo, te mueves otros 4 metros. Pasan 750 segundos, te mueves 750 por 4 metros.

Eso es todo para el caso a igual a 0. Veamos ahora el caso de aceleración constante y distinta de 0. Ese es el llamado movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.

Como antes, tomamos x sub 0 como la posición inicial y v sub 0 como la velocidad inicial.

El proceso es similar al anterior. Para obtener la velocidad hay que hacer una integración. Recuerda, la derivación y la integración son funciones recíprocas. Si a es la derivada de v con relación al tiempo, entonces v es la integral de a con respecto al tiempo.

Las ecuaciones para el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado son como sigue. Para la velocidad tenemos v igual a v sub 0 más a por t. Para la posición sale x igual a x sub 0 más a v sub 0 por t más un medio de a por t al cuadrado. O dicho de otro modo, la velocidad en el tiempo t será la que tenía al principio más la aceleración por el tiempo.

La posición sería la que había antes, x sub 0, más la velocidad inicial por el tiempo más un medio de la aceleración por el tiempo al cuadrado. Todas estas cantidades, v, v sub 0, a, x, x sub 0 como dije antes, tienen signo más o menos, o pueden ser cero según sea el caso. Tenemos ahí todas las posibilidades.

Ya tenemos la evolución temporal del cuerpo. Conocemos las funciones, posición, velocidad y aceleración en función del tiempo. En principio conocemos todo lo que podemos conocer, pero no siempre son las ecuaciones más útiles. En ocasiones lo que queremos es, por ejemplo, relacionar directamente la posición con la velocidad, sin necesidad de andar preocupándose por el tiempo. El ejemplo típico es el de una moneda arrojada desde lo alto de un edificio, donde nos interesa saber qué velocidad tendrá la moneda cuando toque el suelo, pero nos trae sin cuidado cuánto tiempo tarda en hacerlo.

En ese caso lo que podemos hacer es combinar las ecuaciones v en función del tiempo y x en función del tiempo. Te las recuerdo en un momento, v igual a v sub cero más a por t, x igual a x sub cero más v sub cero t más un medio de a por t cuadrado. Aquí lo más sencillo es despejar el tiempo en la ecuación de v y sustituirlo en la de x. Al final nos sale una relación donde solamente aparecen posiciones, velocidades y aceleraciones, pero nada de tiempos. Te la apunto en la forma en que suele darse.

Velocidad al cuadrado es igual a velocidad inicial al cuadrado más dos por la aceleración por el desplazamiento. O dicho en plan fórmula, v cuadrado igual a v sub cero cuadrado más dos por a por paréntesis x menos x sub cero cierro paréntesis. Apúntatela bien porque tiene mucha utilidad. Pero antes de recuadrar esa ecuación hay que resolver un detalle. En ocasiones nos ponemos a resolver una ecuación mediante los pasos habituales, que sea que dividimos, aquí sacamos factor común, pasamos dividiendo, despejamos, todo eso. Pero hay pasos cuya válidez no está asegurada.

Por poner un ejemplo tonto, he dicho que la velocidad es la función de la posición, pero no he demostrado que esa función posición sea derivable. Seguro que tengan los matemáticos rabiando porque no he demostrado que la posición sea una función derivable. Pues tenéis razón, amigos matemáticos, disculpad por ir demasiado a la ligera. Me he limitado a suponer que las funciones que aparecen en cinemática son derivables y he seguido adelante. En este caso tenemos un problema de otro tipo. Durante el proceso en el que combiner a funciones x en función del