1.4 - Homogeneidad dimensional 6n6ws

Hola y bienvenido al Proyecto Gustavo. Este es el Podcast Física 1.

Tema 1. Introducción. Apartado 4. Homogeneidad dimensional.

Hoy vamos a hablar de algo que probablemente no te sonará, pero que resulta muy útil en ciencia. Se trata de la homogeneidad dimensional.

El análisis dimensional es algo que no suele explicarse en los cursos de ciencia, en parte por falta de tiempo, en parte porque no hay muchos libros al respecto, pero he decidido mencionarlo en este curso por las muchas aplicaciones prácticas que tiene. Si no te apetece, puedes saltarte este episodio, no hay problema, pero creo que te puede resultar útil y además te sale por el mismo precio. Voy a hacerlo lo más breve posible. Si quieres ampliar conocimientos, escribí unas páginas para el manual de práctica de laboratorio que tengo en Amazon. Busca Arturo Quirantes práctica de mecánica y ahí lo tienes.

Hay diversos libros sobre el tema, pero todos los que he visto son poco más que copias del clásico de Julio Palacios Análisis Dimensional. Un libro muy bueno, pero bastante complejo y además del año 1964. De la marinera, que en 60 años nadie haya escrito nada mejor sobre el tema. Al menos que yo sepa.

Antes de nada, cuando hablemos de dimensiones no nos referiremos a lo que entendemos habitualmente. Suele decirse que vivimos en un espacio de 3 dimensiones, que una hoja tiene 2 dimensiones, que en teoría de cuerdas se usan hasta 11 dimensiones. Todo eso está muy bien, pero no es a lo que nos referimos aquí. Es más bien una extensión de ese concepto.

Cuando hablemos de dimensiones, lo relacionaremos con magnitudes. Diremos que la velocidad tiene dimensiones de longitud dividido por tiempo, que la superficie tiene dimensiones de longitud al cuadrado. Es una forma de decir qué relación tiene algo con magnitudes conocidas. El concepto que vamos a usar es el de homogeneidad dimensional. En lo más básico significa que comparamos cantidades de la misma magnitud, o como suele decirse, no sumamos peras y manzanas.

En una ecuación física, todos los términos de cada ecuación, todos los sumandos, tienen que representar la misma magnitud física. De otro modo no podríamos sumarlos. No tiene ningún sentido comparar 3 metros y 6 kilogramos. La idea general en el análisis dimensional es la siguiente. Digamos que tenemos un conjunto de magnitudes fundamentales. En ese caso, cualquier cantidad de una magnitud derivada puede escribirse como una combinación de cantidades de esas magnitudes fundamentales.

Vamos a tomar el ejemplo de las magnitudes en mecánica. Ahí tenemos como fundamentales las magnitudes masa, longitud y tiempo. Una fórmula dimensional que nos indique de qué está hecha la magnitud, por decirlo de algún modo, será del tipo masa elevado a algo, por longitud elevado a algo, por tiempo elevado a algo. Para entendernos, la fórmula dimensional nos dice qué tipos de piezas de Lego necesitamos para construir el juguete. No nos dice cuántas piezas, pero sí de qué clase. El análisis dimensional es bastante amplio, así que vamos a ver solo un par de aplicaciones prácticas.

En primer lugar, permite determinar las dimensiones y las unidades de una magnitud derivada. La velocidad es distancia dividida por tiempo, así que tiene dimensiones de longitud partido por tiempo, que podemos escribir como m partido por L, o m por L elevado a menos 1. Cualquier cosa que sea velocidad tiene que tener esas dimensiones. Según el sistema de unidades que uses, se medirá en metros partido por segundo, o millas partido por hora, o kilómetros partido por mes, como quieras, pero siempre será una longitud dividida por un tiempo.

Vamos con un ejemplo más complejo. En dinámica veremos el concepto de fuerza que es fundamental en mecánica. La fuerza es una masa multiplicada por una aceleración, y la aceleración es velocidad partido por tiempo, así que podemos trocear la fuerza en función de masa, longitud y tiempo. En este ejemplo resulta que las dimensiones de fuerza son las de masa por longitud dividido por tiempo al cuadrado, o en formulación más compacta m por L por T elevado a menos 2. Su unidad en el sistema internacional será el kilogramo por metro partido por segundo al cuadrado, que en este caso particular recibe el nombre de Newton.

En el sistema CGS es el centímetro por gramo partido por segundo al cuadrado, que recibe el nombre de Dina. En segundo lugar, el análisis dimensional nos proporciona las dimensiones y las unidades de una constante natural. Tomemos por ejemplo la constante de Planck, que es una energía dividida por una frecuencia.

Si troceamos las cosas, como la energía en masa por velocidad al cuadrado, la velocidad es longitud dividida por tiempo y la frecuencia es la inversa del tiempo, nos resulta que esa constante tiene dimensiones de masa por longitud al cuadrado dividida por tiempo. Su unidad será el kilogramo por metro al cuadrado dividido por segundo.

Sin embargo, cuando lo mires en la wikipedia no te darán esas unidades, sino otras, generalmente las de julio multiplicado por segundo. ¿Por qué? Pues porque esas constantes se usan campos en los que la energía es un concepto básico.